http://ifolder.ru/474166
Задачи № 7,8 выполенные Дашей

Андрей Николаевич ориентировочно обещал зайти сюда на выходных (25, 26 ноября, видимо).
Предлагаю: у кого что есть, давайте выложим сейчас, чтобы нам оперативнее узнать свои возможные ошибки.
Завтра я постараюсь выложить кое-что (что у нас получится) из 3 группы.

Результаты сегодняшнего разговора с А. Н. (напишу, по крайней мере, так, как я понял...):

1. Все задания из номера 1 должны решаться по теореме Рисса. Наиболее известна теорема Рисса, сформулированная им для функционалов, определенных на пространстве непрерывных функций (эта теорема подойдет для номеров 1.1 - 1.5, 1.9, 1.10),  но для других пространств (например, в задачах 1.6 - 1.8), с которыми мы работали, Риссом также получены аналогичные результаты (эти утверждения приводились на лекциях), которыми и надо в задачах 1.6 - 1.8 воспользоваться.
Можно задачи из номера 1 делать и по определению, но так сложнее и больше вероятность ошибок. Рисс проделал эти рассуждения один раз, и полученными им результатами мы и должны пользоваться. Но если задачи из 1 решены по определению и все правильно, то тоже никаких претензий нет.

Если функционал представлен через 2 интеграла, то его нужно записать с помощью одного интеграла Стилтьеса вида int[общий промежуток интергрирования, например [-1,1] в задаче 1.3](x(t)dF(t)). Таким образом, главную сложность здесь представляет нахождение функции F(t).

2. Задачи 2.1 и 2.2 должны решаться по следующей общей схеме. Берем определение ограниченного функционала и делаем из него определение неограниченного функционала, а потом заключаем, что данные в этих задачах функционалы удовлетворяют этому определению. Т. е., в L1 (и L2 в другом номере) берем шар конечного радиуса и строим в нем такую последовательность элементов {xn(t)}, что |f(xn)|->бесконечности при n->бесконечности.

3. Задачу 1.9 надо решать именно тем методом, который применил Дима Ершов (см. файл в первом сообщении темы).

4. В задаче 11.2 главную трудность составляет обоснование корректности применения теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Пока товарищ, решающий задачу, не предъявит функцию fi(x), удовлетворяющую второму условию теоремы (см., например, Колмогорова, стр. 321), номер зачтен не будет. Если в задачах 11.1 и 11.3 тоже используется эта теорема, то, соответственно, и для них верно то, что здесь было сказано про обоснование корректности.

5. Задачи 11.1 и 12 (или очень близкие к ним) были разобраны в 4 группе. Нужно к ним обратиться, чтобы они ими поделились;) Задача 13 является модификацией задачи 12.

Ну вот, вроде, все. Исправьте, пожалуйста, если где напортачил.

И последнее: А. Н. обещал вроде как в следующий четверг, если я не путаю, дать уже вторую часть задач. Заданий там будет примерно столько же, что и в первой части, которая у нас уже на руках.

И еще выкладываю задачку 11.2, которую писал я, но там в ней вопрос как раз по обоснованию второго условия теоремы Лебега о предельном переходе.
Вот она .
Надеюсь, что еще завтра выложу несколько задачек, написанных моими товарищами.

commando, у меня почему-то не получается скачать файлы - я нажимаю "скачать", а он выдает заглавную страницу, где предлагает ввести номер файла для скачивания. я ввожу, а он меня снова отсылает на страницу, на которую я попал при нажатии ссылки в твоем сообщении...
может я туплю чего??

Там при этом еще должно всплывать окошко с предложением сохранить файл... посмотри на заднем плане... Либо он автоматически начинает загружаться... В общем, у меня все качается.

Никак нет, доступны до какого-то там января.

Все, получилось скачать! Это я был виноват - у меня блокировались всплывающие окошки, просто не выводились. Блокировалось соответственно и окошко сохранения. Но теперь все нормально, скачал. спасибо!

Решали я и BZ.

Кстати, есть кто-нибудь, разобравшийся с номерами 12-13 из первой части? У меня есть скан решения аналогичной задачи, приведенного на семинаре у 4й группы, но по чужим записям ориентироваться трудно...

Очередной блок решений:
Решения второй части
Просьба всем посмотреть, проверить на наличие ошибок...

Извиняюсь. Теперь все работает. Ссылка та же.

Это замечание точно относится к номеру 10.3? Там вроде как нигде не встречается производной дельта-функции. Возможно, имелся в виду номер 10.7?

По идее, любой ортонормированный базис в L_2 будет удовлетворять этому условию - потому что можно построить изоморфизм между L_2 и l_2, так что элементы этого базиса будут соответствовать e_n, а e_n слабо сходится к 0. Либо можно взять синусы-косинусы и применить к ним лемму Римана из матана... Как-то так.

2.8 + 2.9 + 2.11 (предварительная версия): http://webfile.ru/1269190

Отредактировано commando (2007-01-07 00:15:36)

Переделал. Вроде, теперь верно. Ссылка та же.
Добавлено: набил давно решённый номер с последней лекции. Его искать в том же архиве:
http://bobiczdoh.jino-net.ru/files/2.doc