ПРОГРАММА КУРСА "Уравнения математической физики" 2007 -2008гг.
Каф.806
1. Классификация уравнений в частных производных 2-го порядка. Приведение к каноническому виду.

Уравнения параболического типа
2. Вывод уравнения теплопроводности в пространстве.
Уравнение теплопроводности с одной пространственной переменной. Поста¬новка основных задач. Краевые, начальные и смешанные краевые задачи. Типы граничных условий.
3. Теорема существования решения первой краевой задачи. Метод разделения Фурье для задач параболического типа. Сущность метода Фурье. Понятие о собственных значениях и собственных функциях.
4. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Теоремы единственно¬сти и устойчивости решения первой краевой задачи. Теорема единственности решения общей краевой задачи.
5. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Интеграл Пуассона. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
6. Решение первой и второй краевой задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой. Метод продолжения. Функция Грина для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности.
7. Общая задача Штурма-Лиувилля.

Уравнения эллиптического типа
8. Уравнения Лапласа и Пуассона. Физическая интерпретация уравнений Лапласа и Пуассона: стационарное тепловое поле, потенциальное течение жидкости, потенциал стационарного электрического тока, электрическое поле стационарных зарядов. Постановка краевых задач. Фундаментальное решение уравнения Лапласа в пространстве и на плоскости.
9. Гармонические функции. Формулы Грина. l-ая, 2-ая формулы Грина. Основная формула Грина (3-я формула Грина.
10. Свойства гармонических функций. Принцип максимума для гармонических функций. Единственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле.
11. Единственность и устойчивость решения внешней задачи Дирихле. Внешняя задача Дирихле на плоскости.
12. Внутренняя задача Неймана. Необходимое условие ее разрешимости.
Единственность решения.
13. Функция Грина (функция точечного источника) для уравнения Лапласа и ее свойства. Электростатическая интерпретация функции источника.

Сведения из теории потенциала
14. Объемный (Ньютоновский) потенциал и его свойства. Объемный потенциал равномерно заряженного шара.
15. Поверхностные потенциалы. Поверхностный потенциал простого слоя и его свойства. Поверхностный потенциал двойного слоя и его свойства. Криволинейные потенциалы простого и двойного слоя. Применение потенциалов простого и двойного слоя к решению краевых задач. Сведение внутренней задачи Дирихле к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода.

Уравнения гиперболического типа
17 . Уравнения гиперболического типа. Вывод уравнений колебания струны. Вывод уравнения колебания мембраны. Формула Даламбера.
18. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения колебания струны. Характеристики гиперболического уравнения в частных производных 2-го порядка.
19. Задача для уравнения колебания струны на полупрямой. Метод продолжения для 1--й и 2-й краевых задач.
20. Метод Пуассона и пространственные звуковые волны. Колебания бесконечной мембраны. Решение задачи Коши для неоднородного волнового уравнения.
21. Метод разделения переменных для уравнения колебаний струны. Теорема существования решения. Теорема единственности решения краевых задач для уравнения колебания струны. Интеграл энергии.
22. Задача Гурса. Эквивалентная система интегральных уравнений. Теорема существования решения задачи Гурса. Теорема единственности решения задачи Гурса.
23. Сопряженный дифференциальный оператор. Примеры. Метод Римана. Понятие об обобщенном решении. Обобщенное решение в смысле предельного перехода.

Методы исследования и решения систем уравнений гиперболического типа
24. Вывод характеристических соотношений для систем квазилинейных уравнений с двумя независимыми переменными. ("Матричный" способ). Инварианты Римана.
25. Метод характеристик для квазилинейной гиперболической системы.
Постановка граничных условий с использованием метода характеристик. Прямой метод характеристик.
26. Послойный метод характеристик, вывод разностных соотношений.
27. Метод контрольного объема (на примере решения системы уравнений нестационарной одномерной газовой динамики).
28. Метод Годунова первого порядка. Задача о распаде произвольного разрыва (задача Римана).

Рекомендуемая литература Учебная и .методическая
1. А.Н.Тихонов, А.А.СамарскиЙ Уравнения математической физики М., "Наука", 1977, 724с.
2. Б.М.Будак, А.А.СамарскиЙ Сборник задач по математической физике М., "Наука", 1977, 686с.
3. А.г.Свешников, А.Н.Боголюбов, Кравцов В.В. Лекции по математической физике.
М. МГУ, "Наука", 2004, 414с.
4. в.н.Русак Математическая физика. М., КомКнига, 2006, 245с.
5. Е.В.Захаров, и.в.Дмитриева, С.И.Орлик Методы математической физики:
Методическое пособие. М.,Издат. Отдел фак-та ВМК МГУ, 2000, 149с.
6. С.к.годунов Уравнения математической физики М., "Наука", 1971, 416с.
7. Н.С.Кошляков, Э.Б.Глинер, М.М.Смирнов Основные дифференциальные уравнения математической физики М., "Гл.изд-во физ.-мат. литер", 1962, 767с ..
8. В.С.Владимиров Уравнения математической физики М., "Наука", 1967, 435с

Другие виды литературы
9. И.В.Колоколов И др. Задачи по математическим методам физики М.,., Ком Книга, 2007, 286с.
10. д.п.Голоскоков Уравнения математической физики. Решение задач в системе Марlе. СПб., "Питер", 2004, 539с.
11. М.М.Смирнов. Задачи по уравнениям математической физики М., Гос.изд-во технико-теоретич литер., 1957, 103с.
12. С.К.Годунов (ред.) Численные методы решения многомерных задач газовой динамики М., "Гл.ред. физ.-мат. литер", 1976, 667с.
13. С.к.Годунов Сборник задач по уравнениям математической физике М., "Наука", 1974, 74с.
14. в.п.пикулин, С.и.полежаев Практический курс по уравнениям математической физики М., МЦНМО, 2004, 208с.